신호는 어떻게 생겨도(ex. 삼각파, 불규칙한 파동...) 정현파로 바꾸는 게 좋다.
불규칙해 보이는 신호도 Fourier Transform을 통해 정현파(sin, cos)들의 합으로 표현할 수 있으며, 시스템에 신호를 입력한다. 이 때 시스템은 보통 미분 방정식을 기본으로 주어지는 경우가 많은데, 이 경우 미분을 하게 되면 복잡해 지므로 선형 시스템을 만들기 위해 L.T(라플라스, 전달함수), F.R(주파수 응답), convolution, S.S(상태 공간 표현) 등을 이용해 표현할 수 있다. 우리가 가장 먼저 할 것은 주파수 응답인 것 같다.
예제1.1 풀면서 미분방정식, 전달함수, 컨벌루션, 상태 공간 표현 수학 모형 구해보기
정현파는 x(t) = A cos (wt + 세타) 인데, 이 신호를 시간에 대해 미분하게 되면 360f가 미분계수로 나오게 되고, 이 경우 단위가 degree*Hz가 되기 때문에 상수 취급을 할 수 없다.
따라서 다른 시스템에도 상수처럼 넣어 취급하기 위해 각을 degree가 아닌 ratio(상수)로 표현하려고 하고, 이 단위가 radian이 된다.
위상은 상대적인 lag, lead로 표현할 수 있다.
주파수가 다르게 되면 이동시간 값이 같더라도 해당 위상 값이 달라질 수 있다.
선형(linear)
RLC, top앰프까지 선형 시스템이다.
트랜지스터가 들어가게 되면 비선형 시스템이 된다. (+리미터, 포화기, 히스테리시스 회로 -> 비선형 시스템의 예)
항들이 +-로 결합되면 선형이며, 그래프도 비례 그래프처럼 선형 그래프가 나온다.
항들이 지수함수의 꼴이거나 */로 결합되면 비선형 시스템이 되며, 지수함수 같은 굽은 그래프가 나온다. 이 경우 taylor series를 이용해 선형화 해서 계산해야 한다.
선형 시스템 특징: 중첩의 원리 = 선형성 만족 = 가산성 + 동차성 만족
1. 가산성(additivity) 만족: 하나 하나 값을 따로 구해서 더한 거 = 그 하나하나를 더해서 한번에 값을 낸 거
2. 동차성(homogeneity) 만족: 값을 구하고 곱한거 = 먼저 곱하고 넣어서 값을 구한 거
선형 시스템의 장점은
1. 풀이가 체계화된다.
2. 중첩의 원리(super position)을 사용할 수 있다.
예를 들어, 마이크에서 잡음을 제거하고 소리를 100배 증폭시키려 하는데, 이를 같이 하려면 어렵다. 이 경우 잡음*0.001을 하고, mic*100로 따로 설계하고 +를 이용해 결합하면 된다. 이 경우 Amp가 선형 시스템이라고 말할 수 있다.
시불변 시스템: 시간에 상관없이 입력이 같으면 결과도 같은 시스템
시변 시스템: (입력값이 같아도) 입력이 들어오는 시간에 따라 출력이 달라짐
우리가 주로 다루는 시스템은
선형 시불변 시스템(LTI system)임
신호의 에너지: 신호 특성을 표현하는 데 쓰인다.
위처럼 신호를 제곱한 다음, 더하면 에너지가 된다. 이 때 주기신호는 에너지가 무한대가 되게 되는데, 그 경우 에너지보다 전력으로 표현하게 된다. 에너지를 한 주기로 나눠 평균을 내게 되면 유한한 값이 나온다.
즉, 전력=한 주기동안 평균 에너지 로 표현된다.
에너지 신호: 에너지가 유한한 신호 -> 전력이 0이므로 전력 신호보다 조건이 엄격하다. (구간이 유한, 지수 감쇠...)
전력 신호: 전력이 유한한 신호
에너지가 유한하면 전력은 0이 되고, 에너지가 무한이면 전력은 유한하게 된다. (예제 1-3 풀어보기)
신호의 실효값: 에너지 관점에서 신호의 실제 효과를 나타낸다.
연속 신호의 경우 root(전력) 값이며, 이산 신호의 경우
가 된다.
유한 구간 신호: 유한한 시간구간 내에 값 존재
무한 구간 신호: 시간적으로 무한한 길이의 신호
확정 신호: 시간에 대해 정해진 형태를 가진다. 수식,표, 규칙으로 명확하게 표현 가능
불규칙 신호: 예측 안됨, 통계적 특성은 일정(평균은 0이다!) -> 아예 말도안되는 신호는 안다룸
우리는 일단 확정 신호만 다룬다.
-------system ---------
인과성: 원인이 있어야 결과도 있음. 미래의 입력은 현재 결과에 영향x
인과 시스템: 인과성 만족. 입력이 인가되기 전에는 출력 발생X
비인과 시스템: 미래의 입력에 대해 반응하는 예측적 시스템. 인과성 성립X
안정도: 시스템 동작이 꾸준히 안정적이게 작동될 수 있는지
입력이 유한하면 출력도 유한한 것: BIBO 안정도
안정 시스템: BIBO안정도 만족. 지속적 작동 보장
불안정 시스템: 유한 입력인데 출력은 무한 -> 시스템 결국은 파괴됨
순시적(무기억) 시스템: 출력은 현재의 입력에만 의존. 저장X, 입출력 관계는 대수방정식
ex) 조합논리 회로, R회로
동적(기억) 시스템: 출력이 현재, 과거의 입/출력에 의존. 기억(저장)O, 입출력 관계가 미분방정식.
ex) 적분기, RLC회로, 순차 논리 회로
역 시스템: 출력-입력이 역으로 가능. 원 시스템이 입력으로 출력 만든 것을 거꾸로 돌려놓는 동작을 함
가역 시스템: 역 시스템 존재. 입출력 관계가 일대일 대응. 출력 관찰해서 입력 결정 가능
비가역 시스템: 일대일 대응 X, 역 시스템 X
집중정수, 분포정수
단일 입출력(SISO): 입출력 신호가 1개 (ex. RLC회로)
다중 입출력(MIMO): 입출력 신호가 각각 여러 개 (ex)자동차. 핸들, 액셀 -> 방향, 속도)
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